Bereits mit 23 Jahren veröffentlichte Bolzano seine ›Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie‹. Sie bilden den Ausgangspunkt für sein Programm einer Neubegründung der Geometrie und der gesamten Mathematik, das ihn bis zu seinem Lebensende beschäftigte und für das er weitreichende methodologische Prinzipien entwickelte. Zu diesen Prinzipien gehört die Regel, dass die Evidenz eines Satzes nie seinen Beweis ersetzen kann und dass sich ein Beweis keiner »fremdartigen Mittelbegriffe« bedienen darf. So hat insbesondere der Begriff der Bewegung, den sogar Kant zur Geometrie zählte, in einem geometrischen Beweis nichts verloren. In Teil I beweist Bolzano »die ersten Lehrsätze von Dreiecken und Parallellinien« allein auf der Grundlage »einer künftig aufzustellenden Theorie der geraden Linie«, welcher Teil II gewidmet ist. In Teil I der ›Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik‹ behandelt Bolzano den Begriff und die Einteilung der Mathematik, wobei (in § 8) die Mathematik in ungewöhnlich abstrakter Weise als Wissenschaft definiert wird, »die von den allgemeinen Gesetzten (Formen) handelt, nach welchen sich diese Dinge in ihrem Daseyn richten«. In Teil II werden die neuen methodologischen Prinzipien, die in den ›Betrachtungen‹ eingefordert und kurz angedeutet wurden, ausführlich dargestellt. In diesem Zusammenhang entwickelt Bolzano (in § 2) auch erstmals seine Idee vom objektiven Zusammenhang unter allen wahren Urteilen. Die diesem Zusammenhang zugrundeliegende Relation der Abfolge bildet ein zentrales Thema seiner ›Wissenschaftslehre‹ (1837) und spielt in fast allen wichtigen Werken Bolzanos eine tragende Rolle. Im Anhang kritisiert Bolzano Kants Theorie der Konstruktion mathematischer Begriffe aus reiner Anschauung.weiterlesen