Viele ingenieurwissenschaftliche, physikalische, biologische und chemische Fragestellungen erfordern eine umfassende Betrachtung von Systemen mit dynamischer Interaktion zwischen mehreren heterogenen Komponenten. Einige der bekanntesten Beispiele hierfür sind die Interaktion zwischen Deformation und Temperatur bei thermomechanischen Problemen, die gegenseitige Abhängigkeit von Flüssigkeitsdruck und Strukturverschiebung in Konsolidierungsprozessen, der Kräfteaustausch zwischen dem Körper eines Unterseebootes mit dem umgebenden Wasser und Knochenverdichtung als Reaktion auf körperliche Beanspruchungen. Die mathematische Beschreibung solcher Phänomene mit Hilfe von Kontinuumstheorien, wie beispielsweise der Theorie Poröser Medien (TPM), führt häufig auf gekoppelte differential-algebraische Gleichungen oder partielle Differentialgleichungen, die prinzipiell analytisch oder auch numerisch gelöst werden können. Die analytischen Verfahren liefern die exakten Lösungen der Gleichungen. Dennoch können diese Methoden meist nur auf eine eingeschränkte Klasse von Problemen angewandt werden (z.B. lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten). Darüber hinaus führen analytische Verfahren oftmals zu sehr komplexen Ausdrücken, weshalb in vielen Fällen auf numerische Lösungsverfahren zurückgriffen werden muss. Mit Hilfe von numerischen Verfahren kann zwar nicht die exakte Lösung berechnet werden, sie lässt sich jedoch approximieren. Dabei werden die kontinuierlichen Differentialgleichungen durch diskrete ersetzt. Dieses Verfahren wird üblicherweise in zwei Schritten durchgeführt: der räumlichen Diskretisierung und der zeitlichen Integration. Durch die Ortsdiskretisierung werden die räumlichen Ableitungen eliminiert, und es verbleiben nur noch gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE), welche zeitlich integriert werden müssen. Diese Integration geschieht gewöhnlich mit Hilfe einer monolithischen oder einer entkoppelten Strategie. Im Rahmen einer monolithischen Vorgehensweise gilt das gesamte Problem als eine Einheit, für die alle Komponenten simultan, d.h. unter Verwendung identischer zeitlicher Integrationsverfahren und ähnlicher Zeitschrittgröße, aktualisiert werden. Solche Löser sind besonders dann zu bevorzugen, wenn die Kopplung zu hochgradig nichtlinearen Gleichungssystemen führt oder wenn die interagierenden Felder vergleichbare Längenskalen oder Entwicklungsraten aufweisen. Darüber hinaus sei erwähnt, dass monolithische Methoden, die auf impliziten Zeitintegrationsverfahren basieren, zu unbedingt stabilen numerischen Lösungen führen. Die Verwendung monolithischer Lösungsmethoden ist jedoch tendenziell nicht empfehlenswert, wenn das System Komponenten mit stark unterschiedlichen Entwicklungsraten enthält, spezialisierte Löser für die interagierenden Komponenten bereits existieren, oder ein anwendungsorientiertes Problem mit sehr vielen Freiheitsgraden berücksichtigt werden muss. Die Unzulänglichkeit monolithischer Löser in solchen Fällen hat zur Entwicklung entkoppelter Lösungsmethoden geführt. Entkoppelte Lösungsmethoden lassen sich durch Verwendung unterschiedlicher Techniken, wie räumliche Partitionierung, Zerlegung von Differentialoperatoren, oder einer Kombination aus beidem, entwickeln. Diese Techniken ermöglichen eine Zerlegung des Problems in kleinere Teilprobleme, welche mit Hilfe individuell angepasster Lösungs- und Diskretisierungslgorithmen für die interagierenden Komponenten parallel oder sequentiell gelöst werden können. Derartige Möglichkeiten haben zur Entwicklung diverser entkoppelter Lösungsmethoden beigetragen. In diesem Zusammenhang seien hier die Anwendungen in Bereichen der Fluid-Struktur-Interaktion und Simulation fluid-gesättigter poröser Medien als typische Beispiele genannt. Die Entkopplung der Gleichungen erhöht allerdings das Risiko einer nur bedingt stabilen Lösungsmethode. Die Stabilitätsanalyse ist daher ein äußerst wichtiger Schritt bei der Entwicklung neuer, entkoppelter Lösungsmethoden. Aus den oben genannten Gründen kann gefolgert werden, dass für die erfolgreiche Einführung einer effizienten Lösungsstrategie je nach Problemstellung zwei Voraussetzungen wesentlich sind: die Bestimmung der Eigenschaften des zu lösenden Problems einerseits und die Kenntnis vorhandener Lösungsoptionen andererseits. Es werden daher in dieser Arbeit wichtige Aspekte der mathematischen Simulation gekoppelter Phänomene im Rahmen der Kontinuumsmechanik untersucht, die Kopplungsmechanismen in verschiedenen Fällen geprüft und die Optionen für eine monolithische oder entkoppelte Lösung der Gleichungssysteme untersucht. Darüber hinaus wird basierend auf der von-Neumann-Methode ein Algorithmus zur Stabilitätsanalyse numerischer Lösungsstrategien eingeführt. Abschließend wird die Anwendbarkeit der vorgestellten Lösungsmethoden auf typische gekoppelte Probleme überprüft und die Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen des Stabilitätsanalyse-Algorithmus und den numerisch berechneten Resultaten gezeigt.weiterlesen