Aus den "Ad Vitellionem paralipomena" (lat.-dt.) und der "Messekunst Archimedis" (dt.) In Keplers "Ad Vitellionem paralipomena" von 1604, einem Markstein in der Geschichte der geometrischen Optik, findet sich eine originelle Abhandlung über die Kegelschnitte. Kepler nimmt Bezug auf Apollonius und den Kommentar von Eutocius, doch seine Untersuchung unterscheidet sich grundlegend von der Behandlung der Kegelschnitte in den Werken seiner Vorgänger. Er war der erste Mathematiker, der Hyperbel, Parabel, Ellipse und Kreis als kontinuierlich ineinander übergehende Kurven darstellen sollte, dergestalt, "daß die Gerade über eine unendliche Zahl von Hyperbeln in die Parabel und diese über unendlich viele Ellipsen in den Kreis übergeht". Als Kepler die Bedeutung des Brennpunkts zeigt (dieser Ausdruck taucht in der abendländischen Mathematik hier zum ersten Mal auf!), deutet er daher die Parabel als eine Hyperbel oder Ellipse mit einem unendlich fernen Brennpunkt, der sich an beiden Enden der Achse findet und Treffpunkt aller Achsenparallelen ist. Anschließend erklärt er die Fadenkonstruktionen für die Hyperbel und die Ellipse, gefolgt von der entsprechenden Konstruktion für die Parabel, die er über ebendiese Analogie gefunden hat. Kepler weiß die Hilfe der Analogie beim Entdecken zu würdigen: "Es ist zweckmäßig für uns, wenn sich die geometrischen Bezeichnungen nach der Analogie richten: die Analogien liebe ich nämlich über alles als meine zuverlässigsten Lehrmeister, die in alle Geheimnisse der Natur eingeweiht sind. In der Geometrie muß man vor allem dann große Achtung vor ihnen haben, wenn sie unzählige zwischen den Extremen und der Mitte liegende Fälle - und sei es auch in noch so befremdlicher Ausdrucksweise - zusammenschließen und das ganze Wesen einer Sache deutlich vor Augen führen." Die diesbezügliche Stelle aus Keplers "Messekunst Archimedis" von 1616, abgefaßt in seiner kernigen deutschen Mundart, behandelt dasselbe Thema in mehr populärer Betrachtungsweise. Kepler's "Ad Vitellionem paralipomena" of 1604, a milestone in the history of geometrical optics, contain an original discourse on conic sections. Kepler refers to Apollonius and to the commentary of Eutocius, but his study is quite distinct from the treatment of conic sections found in the works of his predecessors. He was the first mathematician to discuss the hyperbola, the parabola, the ellipse, and the circle as curves transforming continuously from one into another, in such a manner "that the straight line transforms through an infinity of hyperbolas into the parabola and then through infinitely many ellipses into the circle". So when Kepler points out the significance of the focus (here we find the first appearance of this term in western mathematics!) he interprets the parabola as a hyperbola or an ellipse with an infinitely distant focus that occurs at both ends of the axis and is the meeting point of all lines running parallel to the axis. Afterwards, he explains the string constructions for the hyperbola and the ellipse, followed by the corresponding construction for the parabola which he had invented by this same analogy. Kepler appreciates the role of analogy as a means of discovery: "It is useful for us to have the geometric terms directed by analogy. For I love analogies above all: they are my most reliable masters, acquainted with all the secrets of nature. In geometry, one should hold them in high regard especially when they link together an infinite number of cases lying between the extremes and the mean - however discordant their language may be - and clearly present to our eyes the whole essence of any matter." The related section of Kepler's "Messekunst Archimedis" of 1616, written in his vigorous vernacular German, treats the same subject from a more popular point of view.weiterlesen